gigageo

Ableitung

Inhalt
Ableitung
Differenzenquotient
Berechnung der Ableitung
Ableitungsregeln
Besondere Ableitungen
Tangente und Normale

Ableitung

Die Ableitung \(f'(x_0)\) einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen dieser Funktion im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\).

Die Ableitungsfunktion \(f'\) zu einer Funktion \(f\) ist die "Funktion der Tangentensteigungen": An jeder Stelle \(x\) hat die Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) einen Wert, der der Ableitung der Funktion \(f'\) entspricht.
Hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente, besitzt die Ableitung \(f'\) an dieser Stelle eine Nullstelle.

Beispiel

Differenzenquotient

Der Quotient

\(\frac {f(b) - f(a)} {b-a}\)

heißt Differenzenquotient von \(f\) über dem Intervall \([a;b].\)

Beispiel

Berechnung der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion \(f\) an einer Stelle \(x_0\) lässt sich mit der \(h\)-Schreibweise berechnen: Mit Hilfe des Differenzenquotienten

\(\frac {f(x_0+h) - f(x_0)} h\)

läuft für \(h \to 0\) der Grenzwert des Differenzenquotienten gegen die Ableitung \(f'(x_0)\):

\(\lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)} h = f'(x_0)\)

Beispiel

\(\begin{array}{ll} f(x) & = 5x^2 + 2x + 3 \\ f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x+h)-f(x)} h \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac {5(x+h)^2 + 2(x+h) + 3 - (5x^2 + 2x + 3)} h \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \frac {10xh + 5h^2 +2h} h \\ & = \lim\limits_{h \to 0} (10x + 5h +2) \\ & = 10x + 2 \end{array}\)

Ableitungsregeln

Potenzregel	\(f(x)=x^n\) mit \(n \in \mathbb{Q}*\) \(f'(x)=n \cdot x^{n-1}\) Beispiel \(f(x)=x^3\) \(f'(x)=3x^2\)
Summenregel	\(f(x)=u(x)+v(x)\) \(f'(x)=u'(x)+v'(x)\) Beispiel \(f(x)=x^5+2x^2\) \(f'(x)=5x^4+4x\)
Differenzregel	\(f(x)=u(x)-v(x)\) \(f'(x)=u'(x)-v'(x)\) Beispiel \(f(x)=4x^3-5x\) \(f'(x)=12x^2-5\)
Faktorregel	\(f(x)=k \cdot u(x)\) mit \(k \in \mathbb{R}\) \(f'(x)=k \cdot u'(x)\) Beispiel \(f(x)=2x^4\) \(f'(x)=8x^3\)
Kettenregel	\(f(x)=u(v(x))\) \(f'(x)=v'(x) \cdot u'(v(x))\) Beispiel \(f(x)=(x^4-5)^2\) \(f'(x)=8x^3 (x^4-5)\)

Besondere Ableitungen

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(f(x) = e^x\)	\(f'(x) = e^x\)
\(f(x) = \ln\|x\|, x \ne 0\)	\(f'(x) = \frac 1 x\)
\(f(x) = a \cdot b^x\)	\(f'(x) = a \cdot \ln(b) \cdot b^x\)
\(f(x) = \sin x\)	\(f'(x) = \cos x\)
\(f(x) = \cos x\)	\(f(x) = -\sin x\)

Tangente und Normale

Die Tangente an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) hat die Gleichung:

\(y=f'(x_0) \cdot (x-x_0)+f(x_0)\)

Die Normale an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) hat die Gleichung:

\(y=-\frac 1 {f'(x_0)} \cdot (x-x_0)+f(x_0)\) mit \(f'(x_0)\neq 0\)

Die Normale steht orthogonal zur Tangente. Für orthogonale Geraden mit den Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) gilt:

\(m_1 \cdot m_2=-1\)

Für den Steigungswinkel \(\alpha\) von \(f\) an der Stelle \(x_0\) zwischen der Tangente und der \(x\)-Achse und für die Steigung \(m\) gilt:

\(m=tan(\alpha) = f'(x_0)\)

Beispiel

\(f(x) = \frac 1 4 x^2\)
\(f'(x) = \frac 1 2 x\)

Tangente an \(f(x)\) in \(P(2|1)\):
\(\begin{array}{ll} y_1 & = \frac 1 2 \cdot 2 \cdot (x-2)+1 \\ & = x-1 \end{array}\)
Steigung der Tangente in \(P(2|1)\): \(m_1 = 1\)
Normale an \(f(x)\) in \(P(2|1)\):
\(\begin{array}{ll} y_2 & = - \frac 1 {\frac 1 2 \cdot 2} \cdot (x-2) + 1 \\ & = -x + 3 \end{array}\)
Steigung der Normale in \(P(2|1)\): \(m_2 = -1\)
Tangente \(y_1\) und Normale \(y_2\) sind orthogonal, da \(m_1 \cdot m_2 = 1 \cdot (-1) = -1\)

Stichworte

Ableitung, Ableitungsfunktion, Differenzenquotient, h-Schreibweise, Ableitungsregeln, Potenzregel, Summenregel, Differenzregel, Faktorregel, Kettenregel, Tangente, Normale, Steigung, Steigungswinkel

Ähnlichkeit

Inhalt
Maßstab
Ähnlichkeit von Vielecken
Ähnlichkeitssatz für Dreiecke
1.Strahlensatz
2.Strahlensatz
Zentrische Streckung

	Maßstab Mit einem Maßstab werden Vergrößerungen, z.B. 8:1, oder Verkleinerungen, z.B. 1:400000 angegeben. Beispiel
	Ähnlichkeit von Vielecken Wenn zwei Vielecke \(G\) und \(H\) in ihrer Form übereinstimmen, heißen sie ähnlich zueinander. Man schreibt dafür: \(G \sim H\) ("\(G\) ist ähnlich zu \(H\)") Für ähnliche Vielecke gilt: Ihre sich entsprechenden Winkel sind gleich groß. Sie stimmen in den Verhältnissen der entsprechenden Seiten überein. Der Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor heißt Ähnlichkeitsfaktor. Bei ähnlichen Vielecken stimmt das Längenverhältnis sich entsprechender Seiten \(a\) und \(a'\) überein. Eine Gleichung \(a : a' = b : b'\) ("\(a\) verhält sich zu \(a'\) wie \(b\) zu \(b'\)") heißt Proportion. Beispiel
	Sind zwei Vielecke \(G\) und \(H\) ähnlich zueinander mit dem Ähnlichkeitsfaktor \(k\), dann gilt für ihre Flächeninhalte \(A(G)\) und \(A(H)\): \(A(G) = k^2 \cdot A(H)\) Beispiel
	Ähnlichkeitssatz für Dreiecke Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in der Größe von zwei Winkeln übereinstimmen.
	1.Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) von zwei parallelen Geraden \(g\) und \(h\) geschnitten, so verhalten sich die Längen von je zwei Abschnitten auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. 2.Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt \(S\) von zwei parallelen Geraden \(g\) und \(h\) geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf \(g\) und \(h\) wie die vom Anfangspunkt aus gemessenen Längen der entsprechenden Abschnitte auf jedem der Strahlen. Beispiel
	Zentrische Streckung Eine zentrische Streckung bildet alle Strecken von einem Streckzentrum \(Z\) aus um einen Streckfaktor \(k\) vergrößert oder verkleinert ab. Dabei gilt: Strecke \(\bar{ZP}\) und Bildstrecke \(\bar{ZP'}\) sind parallel. Die Bildstrecke \(\bar{ZP'}\) ist \(k\)-mal so lang wie die Originalstrecke \(\bar{ZP}\). Ein Vieleck \(PQR\) ist zu seinem Bildvieleck \(P'Q'R'\) ähnlich. Beispiel
	Stichworte Ähnlichkeit, ähnlich, Maßstab, Ähnlichkeitsfaktor, Proportion, Ähnlichkeitssatz, Strahlensatz, zentrisch, Streckung, Streckzentrum, Streckfaktor

Bruchrechnung

Inhalt
Brüche
Erweitern/Kürzen
Vergleichen von Brüchen
Rechnen mit Brüchen
Dezimalbrüche
Brüche->Dezimalbrüche
Runden
Rechnen mit Dezimalbrüchen
(Un)endliche Dezimalbrüche

Brüche

Brüche sind Anteile vom Ganzen.

Der Nenner eines Bruches gibt an, aus wie vielen gleich großen Teilen das Ganze besteht. Der Zähler bestimmt, wie viele dieser Teile genommen werden.

Den Quotienten zweier natürlicher Zahlen kann man auch als Bruch schreiben.

Beispiel

Darstellung von Brüchen:

Echter Bruch: Der Zähler ist kleiner als der Nenner.
Unechter Bruch: Der Zähler ist größer als der Nenner oder gleich dem Nenner.
Gemischte Schreibweise: Weitere Darstellung unechter Brüche, die aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch besteht.

Beispiele

Echter Bruch: \(\frac 5 6\)
Unechter Bruch: \(\frac 5 4 = 1 \frac 1 4\) : gemischte Schreibweise

Erweitern/Kürzen

Beim Erweitern eines Bruches werden Zähler \(a\) und Nenner \(b\) jeweils mit dem selben Faktor \(c\) multipliziert werden:

\(\frac a b = \frac {a \cdot c} {b \cdot c} \text{ mit } b,c \ne 0\)

Dabei bleibt der Wert des Bruches gleich.

Die Erweiterung eines Bruches bedeutet eine Verfeinerung der Einteilung.

Beispiel

\(\frac 3 4 = \frac {3 \cdot 5} {4 \cdot 5} = \frac {15} {20}\)

Beim Kürzen eines Bruches werden Zähler \(a\) und Nenner \(b\) jeweils durch dieselbe Zahl \(c\) dividiert:

\(\frac a b = \frac {a / c} {b / c} \text{ mit } b,c \ne 0\)

Dabei bleibt der Wert des Bruches gleich.

Die Kürzung eines Bruches bedeutet eine Vergröberung der Einteilung.

Beispiel

\(\frac {6} {30} = \frac {6 / 6} {30 / 6} = \frac {1} {5}\)

Vergleichen von Brüchen

Zum Vergleichen von Brüchen werden sie auf den gleichen Nenner erweitert und dann ihre Zähler verglichen.

Beispiel

\(\frac {1} {2} , \frac {3} {5} , \frac {3} {4} , \frac {5} {8}\)

\(\frac {1} {2} = \frac {20} {40} \lt \frac {3} {5} = \frac {24} {40} \lt \frac {5} {8} = \frac {25} {40} \lt \frac {3} {4} = \frac {30} {40}\)

Rechnen mit Brüchen

Zur Addition zweier Brüche werden diese so erweitert/gekürzt, dass sie den gleichen Nenner haben und dann die Zähler addiert.

Beispiel

\(\frac 1 2 + \frac 3 4 = \frac 2 4 + \frac 3 4 = \frac {2+3} 4 = \frac 5 4\)

Zur Subtraktion zweier Brüche werden diese so erweitert/gekürzt, dass sie den gleichen Nenner haben und dann ihre Zähler subtrahiert.

Beispiel

\(\frac 7 8 - \frac 1 7 = \frac {49} {56} - \frac {8} {56} = \frac {49-8} {56} = \frac {41} {56}\)

Zur Multiplikation zweier Brüche multipliziert man jeweils die Zähler und die Nenner miteinander. Zur Vereinfachung kann häufig vorher gekürzt werden.

Beispiel

\(\frac 3 8 \cdot \frac 2 5 = \frac {3 \cdot 2} {8 \cdot 5} = \frac {3 \cdot 1} {4 \cdot 5} =\frac 3 {20}\)

Bei der Division zweier Brüche multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert. Den Kehrwert eines Bruches erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Beispiel

\(\frac 3 8 : \frac 2 5 = \frac 3 8 \cdot \frac 5 2 = \frac {3 \cdot 5} {8 \cdot 2} = \frac {15} {16}\)

Ein Doppelbruch entsteht aus dem Quotienten zweier Brüche. Der Bruch im Zähler wird mit dem Kehrwert des Bruches im Nenner multipliziert.

Beispiel

\(\frac {\frac 1 2} {\frac 2 5} = \frac 1 2 \cdot \frac 5 2 = \frac {1 \cdot 5} {2 \cdot 2} = \frac {5} {4}\)

Zur Vervielfachung eines Bruches mit einer natürlichen Zahl wird nur der Zähler des Bruches mit der natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel

\(\frac 7 9 \cdot 5 = \frac {7 \cdot 5} 9 = \frac {35} 9\)

Beim Teilen eines Bruches durch eine natürliche Zahl wird nur der Nenner des Bruches mit der naürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel

\(\frac 7 9 : 5 = \frac 7 {9 \cdot 5} = \frac 7 {45} \)

Dezimalbrüche

Brüche können in Dezimalbruchschreibweise dargestellt werden, die in der Stellenwerttafel deutlich wird. Das Komma teilt die Ganzen von den Teilen des Ganzen.

Beispiel

231,54 in der Stellenwerttafel:

Hunderter	Zehner	Einer	,	Zehntel	Hundertstel
2	3	1	,	5	4

Brüche -> Dezimalbrüche

Brüche können in Dezimalbrüche umgeformt werden, wenn man sie auf Zehntel, Hundertstel, ... erweitert oder kürzt. Der Dezimalbruch ist die Zahl im Zähler, in der das Komma soviele Stellen von hinten aus gesetzt wird, wie es Nullen im Nenner gibt. Die Umformung in einen Dezimalbruch ist nicht immer möglich.

Beispiel

\(\frac 1 4 = \frac {25} {100} = 0,25\)
\(\frac 1 3 \) ist nicht auf Zehntel, Hundertstel, ... erweiterbar!

Runden

Beim Runden auf Einer werden die Zehntel betrachtet, beim Runden auf Zehntel die Hundertstel, beim Runden auf Hundertstel die Tausendstel, ... Dabei gilt:

Abrunden bei 0, 1, 2, 3, 4.
Aufrunden bei 5, 6, 7, 8, 9.

Beispiel

35,5637
Auf Einer runden: 36
Auf Zehntel runden: 35,6
Auf Hundertstel runden: 35,56
Auf Tausendstel runden: 35,564

Rechnen mit Dezimalbrüchen

Dezimalbrüche werden stellenweise addiert und subtrahiert. Dabei werden die Kommas jeweils untereinander geschrieben.

Beispiel

Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen werden die Zahlen erst ohne Kommas multipliziert. Im Ergebnis werden dann so viele Ziffern von rechts durch ein Komma abgetrennt wie die beiden Faktoren zusammen nach dem Komma haben.

Beispiel

Division:

Bei der Division durch eine natürliche Zahl wird erst stellenweise dividiert. Beim Überschreiten des Kommas wird auch auch im Ergebnis das Komma gesetzt.
Bei der Division durch einen Dezimalbruch wird bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist und dann dividiert.

Beispiele

Endliche und unendliche Dezimalbrüche

Bei den Dezimalbrüchen unterscheidet man unter

abbrechenden Dezimalbrüche: Bei der Division zweier Zahlen erhält man den Rest 0.
nichtabbrechenden Dezimalbrüche: Bei der Division zweier Zahlen kommt es nicht zum Rest 0. Wiederholt sich eine Folge von Resten, erhält man einen periodischen Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge heißt Periode.

Beispiel

Abbrechende Dezimalbrüche:
2,345; -25,23978; 2948,0008
Nichtabbrechende Dezimalbrüche:
34,73829561...; -0,00958372...
Periodische Dezimalbrüche:
0,66666... Periode: 6
13,758758758... Periode: 758
-2,579999... Periode: 9

Stichworte

Bruch, Nenner, Zähler, echter Bruch, unechter Bruch, erweitern, kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Kehrwert, Doppelbruch, Dezimalbruch, Stellenwerttafel, Runden, abrunden, aufrunden, abbrechender Dezimalbruch, nichtabbrechender Dezimalbruch, periodisch, Periode

Dreieck

Inhalt
Besondere Dreiecke
Basiswinkelsatz
Winkelsummensatz
Höhen eines Dreiecks
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Satz von Thales
Mittelsenkrechte
EulerscheGerade
Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks
Satz des Pythagoras
Kathetensatz des Euklid
Höhensatz des Euklid

	Besondere Dreiecke spitzwinkliges Dreieck: Alle drei Winkel sind kleiner als 90°. rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist 90° groß. stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist größer als 90°. gleichschenkliges Dreieck: Zwei Dreieckseiten, die Schenkel, sind gleichlang. Die dritte Seite heißt Basis. gleichseitiges Dreieck: Alle drei Seiten sind gleich lang.
	Basiswinkelsatz In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich groß.
	Winkelsummensatz Die Summe der drei Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°.
	Höhen eines Dreiecks Die Höhen eines Dreiecks sind Geraden, die jeweils durch einen Eckpunkt des Dreiecks gehen und die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung orhogonal schneiden. In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.
	Seitenhalbierende und Schwerpunkt Die Seitenhalbierende eines Dreiecks ist die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der gegenüberliegenden Seitenmitte. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt S des Dreiecks.
	Satz von Thales Wenn der Punkt \(C\) eines Dreiecks \(ABC\) auf dem Kreis mit der Seite \(\overline{AB}\) als Durchmesser (dem sogenannten Thaleskreis) liegt, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit \(\gamma\) als rechtem Winkel. Kehrsatz: Wenn \(ABC\) ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90°\) ist, dann liegt der Eckpunkt \(C\) auf dem Thaleskreis über der Seite \(\overline{AB}\).
	Mittelsenkrechte Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt einer Dreiecksseite. Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks \(ABC\) schneiden sich in einem Punkt \(M\), dem Mittelpunkt des Kreises \(K\), der durch die Eckpunkte des Dreiecks aufgespannt wird.
	Eulersche Gerade In einem Dreieck liegen die drei Schnittpunkte der Höhen, Mittelsenkrechten und Seitenhalbierenden auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden.
	Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten \(a\) und \(b\), die den rechten Winkel begrenzen, Katheten. Die Seite \(c\), die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypothenuse. Die Höhe \(h\) im rechtwinkligen Dreieck steht senkrecht auf der Hypothenuse. Die Höhe zerlegt die Hypothenuse in die beiden Hypothenusenabschnitte \(p\) und \(q\).
	Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates \(c^2\) genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate \(a^2\) und \(b^2\): \(c^2 = a^2 + b^2\) \(\text{für } \gamma = 90° \text{}\) Kehrsatz des Satzes von Pythagoras Wenn in einem Dreieck die Quadrate über zwei seiner Seiten genauso groß sind wie das Quadrat über der dritten Seite, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig.
	Kathetensatz des Euklid In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche eines Kathetenquadrates ebenso groß wie die Fläche des Rechtecks, das aus der Hypothenuse und dem entsprechenden Hypothenusenabschnitt gebildet wird: \(a^2 = c \cdot p \text{ und } b^2 = c \cdot q\) \(\text{für } \gamma = 90° \text{}\)
	Höhensatz des Euklid In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates über der Höhe genauso groß wie die Fläche des Rechtecks aus den beiden Hypothenusenabschnitten: \(h^2=p \cdot q\)
	Stichworte Dreieck, spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig, gleichschenklig, Schenkel, Basis, gleichseitig, Basiswinkelsatz, Winkelsummensatz, Höhe, Höhenschnittpunkt, Seitenhalbierende, Schwerpunkt, Satz von Thales, Mittelsenkrechte, Eulersche Gerade, Pythagoras, Kathete, Hypothenuse, Hypothenusenabschnitt, Kathetensatz, Höhensatz, Euklid

Einheiten

Inhalt
Längen
Gewichte
Zeitpunkte/-spannen
Flächeninhalt
Volumen

	Bei Angaben mit Komma bezeichnet die Einheit die Stellen vor dem Komma, die Stellen nach den Komma geben die kleinere Einheit an.
	Längen Längen werden üblicherweise in den Einheiten \(1 mm\) (Millimeter), \(1cm\) (Zentimeter), \(1dm\) (Dezimeter), \(1m\) (Meter) und \(1km\) (Kilometer) angegeben. Es gilt: \(1 km = 1000 m \) \(1 m = 10 dm \) \(1 dm = 10 cm \) \(1 cm = 10 mm \) Beispiel \(5,375254 km = 5375,254 m = 537525,4 cm\) \(429 mm = 42,9 cm = 4,29 dm = 0,429 m\)
	Gewichte Gewichte werden üblicherweise in den Einheiten \(1mg\) (Milligramm), \(1g\) (Gramm), \(1kg\) (Kilogramm), \(1t\) (Tonne) angegeben. Es gilt: \( 1 t = 1000 kg \) \(1 kg = 1000 g \) \(1 g = 1000 mg \) Beispiel \(3722245 mg = 3722,245g = 3,722245 kg\) \(3,457 t = 3457 kg = 3457000 g\)
	Zeitpunkte und Zeitspannen Zeitpunkte und Zeitspannen werden in den Einheiten \(1s\) (Sekunde), \(1min\) (Minute), \(1h\) (Stunde), \(1d\) (Tag) angegeben. Es gilt: \( 1 d = 24 h \) \(1 h = 60 min \) \(1 min = 60 s \) Beispiel \(1,5 h = 90 min = 5400 s\) \(2,25 d = 54 h = 3240 min\)
	Flächeninhalt Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche und wird in den Einheiten \(1mm^2\) (Quadratmillimeter), \(1cm^2\) (Quadratzentimeter), \(1 dm^2\) (Quadratdezimeter), \(1 m^2\) (Quadratmeter), \(1 a\) (A), \(1 ha\) (Hektar), \(1 km^2\) (Quadratkilometer) angegeben. Es gilt: \( 1 km^2 = 100 ha \) \(1 ha = 100 a \) \(1 a = 100 m^2 \) \(1 m^2 = 100 dm^2 \) \(1 dm^2 = 100 cm^2 \) \(1 cm^2 = 100 mm^2 \) Beispiel \(0,05 m^2 = 5 dm^2\) \(2,3 km^2 = 230 ha = 23000 a\)
	Volumen Das Volumen eines Körpers gibt seinen Rauminhalt an und wird in den Einheiten \(1mm^3\) (Kubikmillimeter), \(1cm^3\) (Kubikzentimeter), \(1 dm^3\) (Kubikdezimeter), \(1 m^3\) (Kubikmeter), \(1m^3\) (Milliliter), \(1l\) (Liter), \(1hl\) (Hektoliter) angegeben. Es gilt: \( 1 m^3 = 1000 dm^3 \) \(1 dm^3 = 1000 cm^3 \) \(1 cm^3 = 1000 mm^3 \) \(1 ml = 1 cm^3\) \(1 l = 1 dm^3\) \(1 hl = 100l = 100 dm^3\) Beispiel \(43 l = 43 dm^3 = 0,43 hl\) \(13 cm^3 = 0.013 mm^3 = 13 ml\)
	Stichworte Einheiten, Länge, Kilometer, Meter, Dezimeter, Zentimeter, Millimeter, Gewicht, Tonne, Kilogramm, Gramm, Milligramm, Zeitpunkt, Zeit, Zeitspanne, Tag, Stunde, Minute, Sekunde, Flächeninhalt, Quadratkilometer, Hektar, A, Quadratmeter, Quadratdezimeter, Quadratzentimeter, Quadratmillimeter, Volumen, Kubikmeter, Kubikdezimeter, Kubikzentimeter, Kubikmillimeter, Liter, Milliliter, Hektoliter

Fläche und Umfang

Inhalt

Quadrat
Rechteck
Dreieck
Parallelogramm
Trapez
Vieleck
Kreis

Fläche A, Umfang U

Quadrat
\(A = a^2\)	\(U = 4 \cdot a\)

(Länge einer Seite \(a\))

Rechteck
\(A = a \cdot b\)	\(U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\)

(Rechteckseiten \(a\) und \(b\))

Dreieck
\(A= \frac {c \cdot h} 2\)	\(U = a + b + c\)

(Länge der Grundseite \(c\), zugehörige Höhe \(h\))

Parallelogramm
\(A= a \cdot h\)	\(U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\)

(Länge der Grundseite \(a\), zugehörige Höhe \(h\))

Trapez
\(A = \frac {(a+c) \cdot h} 2\)	\(U = a + 2 \cdot b + c\)

Vieleck

A: Ein beliebiges Vieleck zerlegt man in Dreiecke, Rechtecke, ... und addiert deren Flächeninhalte. Man kann das Vieleck auch zu einer größeren Figur ergänzen und subtrahieren.

\(U = \) Summe aller Seitenlängen

Kreis
\(A=\pi \cdot r^2\)	\(U = 2 \cdot \pi \cdot r\)

(Radius \(r\), \(\pi = 3,14159265359\))

Stichworte

Fläche, Umfang, Quadrat, Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Vieleck, Kreis

Folgen

Inhalt
Folgen
Grenzwert einer Folge
Fibonacci-Zahlenfolge

	Folgen Eine Folge \((a_n)\) ist eine Aufzählung von Zahlen bestehend aus den Gliedern der Folge \(a_1, a_2, a_3, ...\). Rekursive Darstellung der Folge: Ein Folgenglied wird aus einem vorhergehenden Glied berechnet. Außerdem muss das Anfangsglied der Folge angegeben werden. Explizite Darstellung der Folge: Das \(n\)-te Glied der Folge wird durch eine Formel bestimmt. Folgen lassen sich auch grafisch darstellen. Beispiel Folge: \(\frac 1 2, 1, \frac 3 2, 2, \frac 5 2, 3, \frac 7 2, ...\) Rekursive Darstellung: \(a_1 = \frac 1 2\), \(a_n = a_{n-1} + \frac 1 2\) Explizite Darstellung: \(a_n = \frac 1 2 \cdot n\) Grafische Darstellung:
	Grenzwert einer Folge Eine Zahl \(g\) heißt Grenzwert einer Folge \((a_n)\), wenn es zu jedem beliebig kleinen Abstand \(\epsilon\) eine Stelle \(n_0\) in der Folge gibt, ab der alle weiteren Folgenglieder um höchstens \(\epsilon\) von \(g\) unterscheiden: \(\|a_n - g\| < \epsilon \) für alle \(n \geq n_0\) Es gilt dann: \(\lim\limits_{n \to \infty} (a_n) = g \text{ oder } (a_n) \to g \text{ für } n \to \infty\) Beispiel Für die Folge \((a_n) = \frac 1 n\) gilt: \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n = 0\) und \(\lim\limits_{n \to -\infty} \frac 1 n = 0\)
	Fibonacci-Zahlenfolge Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden ihr vorangehenden Zahlen ist: \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) mit \(a_1 = 1, a_2 = 1\) Daraus ergibt sich die Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Beispiel Grafische Darstellunng der Fibonacci-Folge: Die Zahlen werden als Seitenlänge von Quadraten dargestellt. Zeichnet man die Verbindung als Kurve, so erhält man eine Spirale, die in der Natur häufig vorkommt: Schnecken, Wirbelstürmen, Blumen, Galaxien.
	Stichworte Folge, rekursiv, explizit, Grenzwert, Fibonacci

Grundrechenarten

Inhalt
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division

	Addition Summand plus Summand gleich Summe Beispiel \(13 + 14 = 27\)
	Subtraktion Minuend minus Subtrahend gleich Differenz Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Beispiel \(45 - 25 = 20\)
	Multiplikation Faktor mal Faktor gleich Produkt Für alle Zahlen \(a\) gilt: \(0 \cdot a = 0\) und \(1 \cdot a = a\). Beispiel \(25 \cdot 4 = 100\)
	Division Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient Durch 0 kann man nicht dividieren. Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenarten. Beispiel \(35 : 7 = 5\)
	Stichworte Addition, Summand, Summe, Subtraktion, Minuend, Subtrahend, Differenz, Multiplikation, Faktor, Produkt, Division, Dividend, Divisor, Quotient

Kreis

Inhalt
Kreis
Unkreis eines Dreiecks
Inkreis eines Dreiecks

	Kreis Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem festen Punkt \(M\) den gleichen Abstand \(r\). \(M\) ist der Mittelpunkt des Kreises. \(r\) nennt man den Radius des Kreises. Die Verbindungslinie zweier Punkte des Kreises bezeichnet man als Sehne. Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, heißt Durchmesser \(d\) des Kreises. Es gilt: \(d=2\cdot r\) Jede Sehne teilt den Kreis in zwei Kreisbogen. Geht die Sehne durch den Mittelpunkt, dann sind die Kreisbogen Halbkreise. Eine Tangente ist eine Gerade, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, dieser heißt Berührungspunkt der Tangente. Jede Tangente steht auf ihrem Berührungspunkt orthogonal. Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet.
	Umkreis eines Dreiecks Die Mittelsenkrechte zu \(\overline{AB}\) ist orthogonal zu \(\overline{AB}\) und teilt die Strecke \(\overline{AB}\) in der Mitte. Der Kreis, der durch die drei Eckpunkte \(A\), \(B\) und \(C\) eines Dreiecks geht, heißt Umkreis des Dreiecks. In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in genau einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises \(M\).
	Inkreis eines Dreiecks Die Winkelhalbierende des Winkels \(\alpha\) mit dem Scheitel \(A\) ist die Halbgerade mit dem Anfangspunkt \(A\), die den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Der Kreis, der die drei Seiten eines Dreiecks berührt, heißt Inkreis des Dreiecks. In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel in genau einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.
	Stichworte Kreis, Mittelpunkt, Radius, Sehne, Durchmesser, Kreisbogen, Halbkreis, Tangente, Sekante, Mittelsenkrechte, Umkreis, Winkelhalbierende, Inkreis

Kurvendiskussion

Inhalt
Ganzrationale Funktion
Symmetrieeigenschaft
Nullstellen
Monotonie
Extrempunkte
Kurvenverlauf
Wendepunkte
Sattelpunkte
Funktionsübergang
Stetigkeit
Differenzierbarkeit

	Ganzrationale Funktion Eine Funktion \(f\) mit \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\) mit \(n \in \mathbb{N}, a_0, a_1, ...,a_n \in \mathbb{R}\) und \(a_n \neq 0\) heißt ganzrationale Funktion mit ihren Koeffizienten \(a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}\). Der höchste Exponent \(n\) von \(x\) heißt Grad der ganzrationalen Funktion. \(a_nx^n\) entscheidet über den Verlauf der Funktion für \(x \to \infty\) bzw. \(\to -\infty\) fest. Beispiel Typische Kurvenverläufe:
	Symmetrieeigenschaft Der Graph einer Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(f(-x) = f(x)\) gilt. Der Graph einer Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn \(f(-x) = -f(x)\) gilt. Beispiel
	Nullstelle Die Nullstellen \(x_1, x_2, ..., x_{n-1}, x_n\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) lassen sich ablesen, wenn der Funktionsterm als Kombination von Linearfaktoren vorliegt: \(f = (x - x_n)\cdot (x - x_{n-1}) \cdot ... \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_1)\) Kommt im Funktionsterm von \(f\) ein Linearfaktor \((x-x_i)\) doppelt oder dreifach vor, so liegt eine doppelte bzw. dreifache Nullstelle \(x_i\) vor. Eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen. Eine Funktion mit ungeradem Grad besitzt \(f\) mindestens eine Nullstelle. Beispiel
	Monotonie Gegeben ist eine in einem Intervall \(I\) definierte Funktion \(f\). Gilt für alle \(x\) in \(I\) \(f'(x) > 0\), so ist \(f\) streng monoton steigend. Gilt für alle \(x\) in \(I\) \(f'(x) \lt 0\), so ist \(f\) streng monoton fallend. Beispiel
	Extrempunkt Der Wechsel der strengen Monotonie einer Funktion erfolgt in den Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) des Funktionsgraphen. Für jede Extremstelle \(x_e\) gilt \(f'(x_e) = 0\) (notwendiges Kriterium) und \(f''(x_e) \lt 0\) (hinreichendes Kriterium für einen Hochpunkt) bzw. \(f''(x_e) \gt 0\) (hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt) Als hinreichendes Kriterium gilt auch der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\): Wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_e\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\), so hat \(f\) an der Stelle \(x_e\) einen Hochpunkt. Wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_e\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\), so hat \(f\) an der Stelle \(x_e\) einen Tiefpunkt. Beispiel
	Kurvenverlauf Gegeben sind eine Funktion \(f\) und ihre zweite Ableitung \(f''\) im Intervall \(I\). Ist \(f''(x) > 0\) für alle \(x \in I\), so bildet der Graph von \(f\) im Intervall \(I\) eine Linkskurve. Ist \(f''(x) \lt 0\) für alle \(x \in I\), so bildet der Graph von \(f\) im Intervall \(I\) eine Rechtskurve. Beispiel
	Wendepunkt In einem Wendepunkt wechselt der Graph einer Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Für jede Wendestelle \(x_w\) gilt \(f''(x_w) = 0\) (notwendiges Kriterium) und \(f'''(x_w) \ne 0\) (hinreichendes Kriterium) Als hinreichendes Kriterium gilt auch der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f''\). Beispiel
	Sattelpunkt Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente mit den Bedingungen \(f''(x_w) = 0\) und \(f'''(x_w) \ne 0\) für einen Wendepunkt und zusätzlich \(f'(x) = 0\) für die waagerechte Tangente. Beispiel
	Funktionsübergang Verbindung zweier Funktionsgraphen \(g\) und \(f\): sprungfreier Übergang an der Stelle \(x_a\): \(g(x_a) = f(x_a)\) knickfreier Übergang an der Stelle \(x_a\): \(g'(x_a) = f'(x_a)\) zusätzlich krümmungsruckfreier Übergang an der Stelle \(x_a\): \(g''(x_a) = f''(x_a)\) Beispiele Die Übergangsstellen betreffen abschnittsweise definierte Funktionen - Funktionen, die sich aus Teilfunktionen zusammensetzen. Beispiel Abschnittsweise definierte Funktion: \(f (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 5x^2 & x \geq 0 \\ 3x & x \lt 0 \\ \end{array} \right.\)
	Stetigkeit Eine Funktion \(f\) heißt stetig an der Stelle \(x_0\), wenn sie in \(x_0\) definiert ist und sich die Funktionswerte von \(f\) von links und von rechts demselben Grenzwert \(f(x_0)\) nähern: \( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \) Der Graph der Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) sprungfrei.
	Differenzierbarkeit Eine Funktion \(f\) heißt differenzierbar an der Stelle \(x_0\), wenn sich die Werte des Differenzenquotienten \(\frac {f(x) - f(x_0)} {x-x_0}\) für \(x \to x_0\) von links und von rechts demselben Grenzwert \(f'(x_0)\) annähern: \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x-x_0} = f'(x_0)\) Der Graph der Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) knickfrei.
	Stichworte Ganzrationale Funktion, Koeffizient, Grad, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, Nullstelle, Linearfaktor, Monotonie, Extrempunkt, Hochpunkt, Tiefpunkt, hinreichend, notwendig, Linkskurve, Rechtskurve, Wendepunkt, Sattelpunkt, sprungfrei, knickfrei, krümmungsruckfrei, abschnittsweise, stetig, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, differenzierbar

Lineare Funktion

Inhalt
Lineare Funktion
Nullstelle einer Geraden
Steigung einer Geraden
Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts

	Lineare Funktion Eine Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = m \cdot x + b\) heißt lineare Funktion. \(m\) heißt Steigung (Änderungsrate) der linearen Funktion. \(b\) nennt man den \(y\)-Achsenabschnitt. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
	Nullstelle einer Geraden Nullstelle heißt die Stelle \(x_0\) der Funktion, an der eine Funktion \(f\) den Wert 0 annimmt. Es gilt: \(f(x_0) = 0\) Grafisch schneidet die Gerade die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_0\). Beispiel Nullstelle von \(f(x) = 3x+5\): \(f(x_0) = 3x_0 + 5 = 0\) \(3x_0 = -5\) Nullstelle: \(x_0 = - \frac 5 3\)
	Steigung einer Geraden Die Steigung \(m\) der Geraden, die durch die Punkte \(P_1(x_1\|y_1)\) und \(P_2(x_2\|y_2)\) geht, berechnet man mit \(m= \frac {y_2-y_1} {x_2 -x_1}\)
	Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts Den \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) berechnet man durch Einsetzen der Koordinaten von \(P_1\) oder \(P_2\) in die Gleichung \(y = mx + b\) und anschließenden Umformen der Gleichung nach \(b\). Beispiel Gegeben sind \(P_1(2\|2)\) und \(P_2(3\|5)\). Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitt \(b\): \(y = mx + b = \frac {5-2} {3-2} x + b = 3x + b\) Einsetzen von \(P_1\) in \(y = 3x + b\): \( 2 = 3 \cdot 2 + b = 6 + b\) \(b = 2 -6 = -4\) Gerade: \(y = 3x -4\)
	Sichworte linear, Steigung, y-Achsenabschnitt, Gerade, Nullstelle

Linien

Inhalt
Linien
Strecken
Strahlen
Geraden

	Linien Das, was man in einem Zuge zeichnen kann, ohne dabei anzusetzen oder ein Stück zweimal zu durchlaufen, heißt Linie. Beispiel
	Strecken Gerade Linien mit zwei Endpunkten A und B heißen Strecken. Man schreibt kurz: \(\bar{AB}\) oder \(\bar{BA}\). Für die Länge der Strecke \(\bar{AB}\) schreibt man \(\|AB\|\). Beispiel
	Strahlen Gerade Linien mit einem Endpunkt heißen Strahlen oder Halbgeraden. Beispiel
	Geraden Gerade Linien ohne Anfangs- und Endpunkte heißen Geraden. Die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\) wird mit \(AB\) bzw. \(BA\) oder einem Kleinbuchstaben bezeichnet. Zwei sich schneidende Geraden haben einen Punkt, den Schnittpunkt \(S\), gemeinsam. Schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) orthogonal, schreibt man: \(g \perp h\). Beispiel
	Stichworte Linie, Strecke, Länge, Strahl, Halbgerade, Gerade, Schnittpunkt

Logarithmus

Inhalt
Logarithmus
Rechengesetze
Natürlicher Logarithmus

	Logarithmus Unter dem Logarithmus von \(a\) zur Basis \(b\) versteht man diejenige Zahl \(x\) mit der man \(b\) potenzieren muss, um \(a\) zu erhalten. \(b^x = a \Leftrightarrow log_b a = x\) \(a,b >0, b \ne 1\) Speziell: \(b^1 = b \Leftrightarrow log_b b = 1\) Beispiel
	Rechengesetze \(log_b(x \cdot y) = log_b x + log_b y\) Beispiel \(\begin{array}{ll} log_5 125 & = log_5 (5 \cdot 5 \cdot 5) \\ & = log_5 5 + log_5 5 + log_5 5 \\ & = 1 + 1 + 1 \\ & = 3 \end{array}\) \(log_b(\frac x y) = log_b x - log_b y\) Beispiel \(\begin{array}{ll} log_6 (\frac 1 {36}) & = log_6 1 - log_6 (36) \\ & = 0 - 2 \\ & = -2 \end{array}\) \(log_b x^n = n \cdot log_b x\) Beispiel \(\begin{array}{ll} log_2 8^5 & = 5 \cdot (log_2 2 + log_2 2 + log_2 2) \\ & = 5 \cdot (1 + 1 + 1) \\ & = 15 \end{array}\) \(log_b a = \frac{log_x a} {log_x b}\) Beispiel \(\begin{array}{ll} log_{8} 32 & = \frac {log_{2} 32} {log_{2} 8} \\ & = \frac 5 3 \end{array}\)
	Natürlicher Logarithmus Der natürliche Logarithmus \(ln(x)\) einer positiven Zahl \(x\) ist der Exponent, mit dem man \(e\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten: \(x = e^{ln(x)}\). Die Funktion \(f(x) = ln(x), x \gt 0\) nennt man natürliche Logarithmusfunktion.
	Stichworte Logarithmus

NURBS

Inhalt
Was sind NURBS?
Eigenschaften
NURBS-Kurve
Basis-B-Splines
Knotenvektor
NURBS zum Ausprobieren
Literatur

	Was sind NURBS? NURBS (non-uniform rational B-Splines) sind mathematisch definierte Kurven oder Flächen, die zur Modellierung beliebig komplexer Formen verwendet werden. NURBS liefern eine präzise mathematische Form zur Repräsentation aller gängiger Kurven und Flächen.
	Eigenschaften NURBS bieten eine präzise mathematische Darstellung von analytischen Formen und Freiformflächen. Geringer Speicherbedarf NURBS sind in industriellen Standardformaten enthalten. Eigenschaften
	NURBS-Kurve Eine NURBS-Kurve \(C(u)\) ist definiert durch den Grad \(p\), die mit \(w_i\) gewichteten \(n+1\) Kontrollpunkte \(P_i\) und einen Knotenvektor \(U\): \( C(u) = \frac {\sum _{i=0}^{n} N_{i,p}(u) w_i P_i} {\sum _{i=0}^{n} N_{i,p}(u) w_i} \) Basis-B-Splines \(N\) \( N_{i,0}(u) = \left\{ \begin{matrix} 1 \text{ für } u_i \le u \lt u_{i+1}\\ 0 \text{ sonst } \end{matrix} \right.\) \(N_{i,p}(u) = \frac {u-u_i} {u_{i+p}-u_i} N_{i,p-1}(u) + \frac {u_{i+p+1}-u} {u_{i+p+1}-u_{i+1}} N_{i+1,p-1}(u)\) Basis-B-Splines Knotenvektor \(U\) (bei \(m+1\) Stützpunkten) \( U = \{\underbrace {0,\ldots ,0} _{p+1},u_{p+1},\ldots ,u_{m-p-1},\underbrace {1,\ldots ,1} _{p+1}\} \) Man unterscheidet äquidistante, chordal und zentripedale Parametrisierung des Knotenvektors.
	NURBS zum Ausprobieren Hilfe Hilfe: Durch Klicken auf das Grafikfenster skizziert man Stützpunkte (), die mit einer NURBS-Kurve angenährt werden sollen. Der Klick auf A berechnet die NURBS-Kurve. Das Polygon mit seinen Kontrollpunkten zieht diese NURBS-Kurve auf. Die Anzahl der Kontrollpunkte (standardmäßig 5 Kontrollpunkte) lässt sich mit anschließendem Klick auf A ändern. Statt selbst eine Figur zu erstellen, kann man ein Beispiel (, ) auswählen und approximieren lassen. löscht das Grafikfenster. Mit wählt man Kontrollpunkte aus, um sie zu verschieben. Dazu klickt man auf einen Kontrollpunkt und zieht ihn an eine andere Stelle. Die NURBS-Kurve verändert ihren Verlauf nach Loslassen des Mausbuttons. Vorgegebene Parameter: Eckpunktinterpolation, Gewichte, Anzahl der B-Spline-Kurvenpunkte, äquidistanter Knotenvektor, Gradzahl der B-Spline-Kurve. Variable Parameter: Anzahl der Kontrollpunkte, Ort und Anzahl der Stützpunkte.
	Literatur Les Piegl, Wayne Tiller: The NURBS Book. Monographs in Visual Communication. Springer, 2000.
	Stichworte NURBS, B-Spline, Knotenvektor, Kontrollpunkt, Parametrisierung

Potenz/Wurzel

Inhalt
Potenz
Potenzgesetze
Quadratwurzel
Quadratwurzelgesetze
Teilweises Wurzelziehen
\(n\)-te Wurzel
Potenzen mit rationalen Exponenten
Potenzen mit negativen Exponenten
Wurzelgesetze

	Potenz Für beliebige \(a\) und natürliche \(n>1\) gilt: \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a}_{\text{n Faktoren}}\) \(a^0 = 1 \text{ } (a \neq 0)\) \(a^1 = a\) \(a^n\) heißt \(n\)-te Potenz von \(a\), \(a\) Basis und \(n\) Exponent der Potenz. Beispiel \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
	Potenzgesetze Für alle reellen Basen \(a, b\) und natürlichen Exponenten \(n, m\) gilt: \(a^m \cdot a^n = a^{(m+n)}\) \(\frac {a^m} {a^n} = a^{m-n} \text{ für } a \neq 0\) \(a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n\) \(\frac {a^n} {b^n} = (\frac a b)^n \text{ für } b \neq 0\) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) Beispiel \(3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27 = 243 = 3^{(2+3)} = 3^5 = 243\) \(\frac {2^5} {2^2} = \frac {32} 4 = 8 = 2^{5-2} = 2^3 = 8\) \(5^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225 = (5 \cdot 3)^2 = 15^2 = 225\) \(\frac {6^4} {3^4} = \frac {1296} {81} = 16 = (\frac 6 3)^4 = 2^4 = 16\) \((4^2)^3 = 16^3 = 4096 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4096\)
	Quadratwurzel Die Quadratwurzel aus einer nichtnegativen Zahl \(a\) \(\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\) ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl \(a\) ergibt. Für alle Zahlen \(a\) gilt: \(\sqrt{a^2} = \|a\|\) Für alle nichtnegativen Zahlen \(a\) gilt: \(\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = a\) Beispiel \(a = 9 = 3 \cdot 3\) \(\sqrt{9} = 3\)
	Quadratwurzelgesetze Für alle nichtnegativen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt: \(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {a \cdot b}\) \(\frac {\sqrt a} {\sqrt b} = \sqrt {\frac a b} \text{ mit } b \neq 0\) Beispiel \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\) \(\frac {\sqrt {81}} {\sqrt 9} = \sqrt{\frac {81} 9} = \sqrt{9} = 3\)
	Teilweises Wurzelziehen Für alle Zahlen \(a\) und \(b\) gilt: \(\sqrt{a^2b} = \|a\| \cdot \sqrt b\) \(\sqrt \frac a {b^2} = \frac {\sqrt a} {\|b\|}\) mit \(b \neq 0\) \(\sqrt \frac {a^2} {b} = \frac{\|a\|} {\sqrt{b}} \text{ mit } b \neq 0\) Beispiel \(\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt{3}\) \(\sqrt \frac {21} {64} = \frac {\sqrt {21}} {8}\) \(\sqrt \frac {100} {7} = \frac{10} {\sqrt{7}}\)
	\(n\)-te Wurzel Die \(n\)-te Wurzel einer nichtnegativen reellen Zahl \(a\) mit \(n \in \mathbb{N}\) \(\sqrt[n]{a}\) ist die Lösung der Gleichung \(x^n = a\) Es gilt: \(\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\) und \(\sqrt{a^2} = \|a\|\). Beispiel \(\sqrt[5]{32} = 2\) \(2^5 = 32\)
	Potenzen mit rationalen Exponenten Für \(a\) nichtnegativ und \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(a^{\frac 1 n} = \sqrt[n]{a}\) Für \(m \in \mathbb{Z}\) und \(a>0\) gilt: \(a^{\frac m n} = \sqrt[n]{a}^m\)
	Potenzen mit negativen Exponenten Für \(a \neq 0\) und \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(a^{-n} = \frac 1 {a^n}\) Für \(m \in \mathbb{Z}\) und \(a>0\) gilt: \(a^{-\frac m n} = \frac 1 {\sqrt[n]{a}^m}\)
	Wurzelgesetze Wurzelgesetze sind Potenzgesetze mit rationalem Exponenten! Für \(n, m \in \mathbb{N}\) gilt: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\) \(\frac{\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac a b}\) \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \text{ für } a \geq 0, b \geq 0\) Beispiel \(\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8} = 3 \cdot 2 = 6 = \sqrt[3]{27 \cdot 8} = \sqrt[3]{216} = 216\) \(\frac{\sqrt{36}} {\sqrt{4}} = \frac 6 2 = 3 = \sqrt{\frac {36} 4} = \sqrt{9} = 3\) \((\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8\) \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3]{8} = 2 = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2\)
	Stichworte Potenz, Potenzgesetze, Basis, Exponent, Wurzel, Quadratwurzel, Wurzelgesetze, Exponent

Quadratische Funktion

(Quadratische Gleichung, Polynom 2.Grades)

Inhalt
Quadratische Funktion
Normalform
Scheitelpunktform
Verschieben der Parabel
Strecken/Stauchen
Spiegeln der Parabel
Linearfaktorzerlegung
Lösen quadratischer Gleichungen
Satz von Vieta

	Quadratische Funktion Eine Funktion \(f\) mit dem Term \(f(x) = ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\) heißt quadratische Funktion. Ein Spezialfall ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^2\). Ihr Graph heißt Normalparabel. Eigenschaften: Der Graph ist symmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Koordinatenursprung ist Scheitelpunkt des Graphen. Der Graph fällt im 2.Quadranten und steigt im 1. Quadranten. Beispiel
	Normalform: \(f(x) = x^2 + px + q\)
	Scheitelpunktform: \(f(x) =a(x+d)^2+e\) mit dem Scheitelpunkt \(S(-d\|e)\) Die Scheitelpunktform erhält man aus der Normalform mit \(d = \frac p 2\) und \(e = q - (\frac p 2)^2\). Beispiel \(f(x) =0.5(x+4)^2+3\) Scheitelpunkt: \(S(-4\|3)\)
	Verschieben der Parabel nach oben/unten \(f(x) = x^2+e\) \(e \gt 0\): Verschiebung nach oben \(e \lt 0\): Verschiebung nach unten Beispiel
	Verschieben der Parabel nach rechts/links \(f(x) = (x+d)^2\) \(d \gt 0\): Verschiebung nach links \(d \lt 0\): Verschiebung nach rechts Achtung beim Vorzeichen! Beispiel
	Strecken und Stauchen der Parabel \(f(x) = ax^2\) \(a \gt 1\): Streckung der Parabel \(0 \lt a \lt 1\): Stauchung der Parabel Beispiel
	Spiegeln der Parabel an der x-Achse \(f(x) = -x^2\) Beispiel
	Linearfaktorzerlegung Hat \(f\) mindestens eine Nullstelle, so kann man aus der Darstellung der Funktion als Linearfaktorzerlegung \(f(x)=a(x-m)(x-n)\) die Nullstellen \(m\) und \(n\) ablesen.
	Lösen quadratischer Gleichungen (Nullstellenbestimmung) Die quadratische Gleichung in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) hat die Nullstellen: \(x_{1,2} = -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2 )^2 -q}\) Es gilt: \((\frac p 2 )^2 -q \lt 0\): keine Nullstelle \((\frac p 2 )^2 -q = 0\): eine doppelte Nullstelle \((\frac p 2 )^2 -q \gt 0\): zwei Nullstellen Quadratische Gleichungen der Form \(ax^2+bx=0\) löst man durch Faktorisieren: \(x(ax+b)=0\). Beispiel \(x^2 - 2x -15 = 0\) \(x_{1,2} = -\frac {-2} 2 \pm \sqrt{(\frac {-2} 2)^2 -(-15)}\) Nullstellen: \(x_1 = - 1 + 4 = 5\) und \(x_2 = 1 - 4 = -3\)
	Satz von Vieta Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der Normalform \(x²+px+q=0\) Wenn \(x_1\) und \(x_2\) Lösungen der Gleichung sind, dann gilt: \(x_1+x_2=-p\) und \(x_1 \cdot x_2=q\)
	Stichworte Quadratische Funktion, Parabel, Normalform, Scheitelpunktform, Scheitelpunkt, Linearfaktorzerlegung, Satz von Vieta

Rechengesetze

Inhalt
Rechenreihenfolge
Vorzeichen
Kommutativgesetze
Gesetze über neutrale Elemente
Gesetze über inverse Elemente
Assoziativgesetze
Distributivgesetze
Gleichheitsgesetze
Monotoniegesetze
Inversionsgesetz

	Rechenreihenfolge Ein Term beschreibt einen Rechenweg, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen kann. Ein Term wird in folgender Reihenfolge umgeformt: 1. Berechnung von Ausdrücken innerhalb von Klammern. 2. Potenzrechnung vor Punktrechnung. 3. Punktrechnung vor Strichrechnung. 4. Rechnung von links nach rechts. Beispiel \((2^2 + 3) - 5 \cdot (4 - 3) + 3 \cdot (5 - 3^2 + 8)\) \(= (4 + 3) - 5 \cdot 1 + 3 \cdot (5 - 9 + 8)\) \(= 7 - 5 + 3 \cdot 4\) \(= 7 - 5 + 12\) \(= 14\)
	Zwei Terme heißen wertgleich, wenn sich bei beliebigen Einsetzungen für die Variablen übereinstimmende Werte ergeben. Bei Termumformungen verändert man einen Term mithilfe von Rechengesetzen in einen wertgleichen vereinfachten Term, ohne sein Ergebnis zu ändern. Wertgleiche Terme sind durch ein Gleichheitszeichen verbunden.
	Vorzeichen Stehen Vorzeichen und davorstehendes Rechenzeichen direkt nebeneinander, können sie immer zu einem Rechenzeichen zusammengefasst werden. Es gilt: \(++ \text{ wird zu } +\) \(-- \text{ wird zu } +\) \(+- \text{ wird zu } -\) \(-+ \text{ wird zu } -\) Beispiele \(5 + (-3) = 5 - 3 = 2\) \(15 - (-6) = 15 + 6 = 21\)
	Kommutativgesetz der Addition für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a+b=b+a\) Kommutativgesetz der Multiplikation für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a \cdot b = b \cdot a\) Beispiel \(5+3 = 3+5 = 8\) \(5 \cdot 6 = 6 \cdot 5 = 30\)
	Gesetz über das neutrale Element der Addition Neutrales Element: \(0\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt: \(a + 0 = 0 + a = a\) Gesetz über das neutrale Element der Multiplikation Neutrales Element: \(1\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt: \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\) Beispiel \(16 + 0 = 0 + 16 = 16\) \(7 \cdot 1 = 1 \cdot 7 = 7\)
	Gesetz über das inverse Element der Addition Neutrales Element: \(-a\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt: \(a + (-a) = (-a) + a = 0\) Gesetz über das inverse Element der Multiplikation Neutrales Element: \(\frac 1 a\) für alle \(a \in \mathbb{R}\text{ \ }{0}\) gilt: \(a \cdot \frac 1 a = \frac 1 a \cdot a = 1\) Beispiel \(11 + (-11) = (-11) + 11 = 0\) \(3 \cdot \frac 1 3 = \frac 1 3 \cdot 3 = 1\)
	Assoziativgesetz der Addition für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \((a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c\) Assoziativgesetz der Multiplikation für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c\) Beispiel \((2+3)+4=2+(3+4)=2+3+4= 9\) \((2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\)
	Distributivgesetze für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \((a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) \(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\) Beispiel \((3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 27\) \(6 \cdot (5 - 4) = 6 \cdot 5 - 6 \cdot 4 = 6\)
	Gleichheitsgesetz der Addition: für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a = b \Leftrightarrow a + c = b + c\) Gleichheitsgesetz der Multiplikation: für alle \(a, b, c \in \mathbb{R} \text{ \ } 0\) gilt: \(a = b \Leftrightarrow a \cdot c = b \cdot c\)
	Monotoniegesetz der Addition: für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a + c \lt b + c\) Monotoniegesetz der Multiplikation: für alle \(a, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}^+\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a \cdot c \lt b \cdot c\) Beispiel \(5 \lt 3 \Leftrightarrow 5 + 2 \lt 3 + 2 \Leftrightarrow 7 \lt 5\) \(5 \lt 3 \Leftrightarrow 5 \cdot 2 \lt 3 \cdot 2 \Leftrightarrow 10 \lt 6\)
	Inversionsgesetz für alle \(a, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}^-\) gilt: \(a \lt b \Leftrightarrow a \cdot c \gt b \cdot c\) Beispiel \(6 \lt 8 \) \(\Leftrightarrow 6 \cdot (-3) \gt 8 \cdot (-3) \) \(\Leftrightarrow -18 \gt -24\)
	Stichworte Rechengesetze, Rechenreihenfolge, Term, wertgleich, Termumformung, Verknüpfungsgesetz, Kommutativgesetz, neutrales Element, inverses Element, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Relationsgesetz, Gleichheitsgesetz, Monotoniegesetz, Inversionsgesetz

Transformationen

Inhalt
Achsenspiegelung
Punktspiegelung
Verschiebung
Drehung
Symmetrie

	Achsenspiegelung Bei einer Achsenspiegelung wird jedem Punkt \(P\) der Ebene ein Bildpunkt \(P'\) so zugeordnet, dass \(P\) und \(P'\) auf einer Senkrechten zur Spiegelachse liegen und denselben Abstand zur Spiegelachse haben. Ein Punkt \(P\) auf der Spiegelachse ist Bildpunkt von sich selbst.
	Punktspiegelung Bei einer Punktspiegelung an einem Spiegelzentrum \(Z\) wird jedem Punkt \(P\) der Ebene ein Bildpunkt \(P'\) so zugeordnet, dass \(P\) und \(P'\) auf einer Geraden durch \(Z\) liegen und von \(Z\) den gleichen Abstand haben. Ein Punkt \(P\) auf \(Z\) ist Bildpunkt von sich selbst.
	Verschiebung Eine Verschiebung ist durch die Richtung und die Länge der Verschiebung bestimmt, dies wird durch einen Verschiebungspfeil verdeutlicht. Die Verbindungslinie eines Punktes \(P\) und seinem Bildpunkt \(P'\) ist parallel zum Verschiebungspfeil.
	Drehung Bei einer Drehung um den Drehwinkel \(\alpha\) ist ein Bildpunkt \(P'\) genauso weit vom Drehzentrum \(Z\) entfernt wie der Originalpunkt \(P\). Der Drehwinkel ist der Winkel zwischen der Halbgeraden \(\vec{ZP}\) und \(\vec{ZP'}\).
	Symmetrie Eine achsensymmetrische Figur wird bei der Spiegelung an einer Geraden auf sich abgebildet. Eine punktsymmetrische Figur zum Punkt \(Z\) wird bei der Punktspiegelung an \(Z\) auf sich abgebildet. Eine drehsymmetrische Figur zum Punkt \(Z\) wird bei einer Drehung um \(Z\) auf sich abgebildet. Beispiele
	Stichworte Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Spiegelachse, Verschiebung, Verschiebungspfeil, Drehung, Drehzentrum, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, drehsymmetrisch

Vektoren

Inhalt
Koordinatensystem in der Ebene
Koordinatensystem im Raum
Vektoren
Rechnen mit Vektoren

	Koordinatensystem in der Ebene Ein Koordinatensystem in der Ebene besteht aus einem nach rechts gerichteten Zahlenstrahl, der Rechtsachse oder x-Achse, und einem nach oben gerichteten Zahlenstrahl, der Hochachse oder y-Achse. Punkte haben eine 1.Koordinate (x-Koordinate) und eine 2.Koordinate (y-Koordinate). Der Punkt \(0\|0)\) heißt Ursprung des Koordinatensystems. Beispiel Der Punkt \(P(2\|3)\) hat die 1.Koordinate \(2\) und die 2.Koordinate \(3\).
	Koordinatensystem im Raum Um Punkte im Raum mit Zahlen angeben zu können, führt man ein räumliches Koordinatensystem mit einem Punkt O als Ursprung des Koordinatensystems und drei sich in 0 schneidende Geraden als Koordinatenachsen (\(x_1\)-Achse, \(x_2\)-Achse und \(x_3\)-Achse) ein. Ein Punkt \(P\) im Koordinatensystem wird durch seine drei Koordinaten angegeben: \(P(x_1\|x_2\|x_3)\). Die von den Koordinatenachsen auf gespannten Koordinatenebenen heißen \(x_1x_2\)-Ebene, \(x_2x_3\)-Ebene und \(x_1x_3\)-Ebene. Ein Koordinatensystem heißt kartesisch, wenn die Koordinatenachsen orthogonal zueinander stehen. Beispiel Der Punkt \(P(2\|3\|6)\) hat die 1.Koordinate \(2\), die 2.Koordinate \(3\) und die 3.Koordinate \(6\).
	Vektoren Ein Vektorraum \(V\) ist eine Menge. Seine Elemente heißen Vektoren. Ein Vektor \(\vec{v}\) ist durch eine Länge und eine Richtung gegeben. Für einen Vektorraum \(V\) mit den Elementen \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in V\) und \(r,s \in \mathbb{R}\) gelten die Gesetze \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\) (Kommutativgesetz) \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\) (Assoziativgesetz) Es gibt ein neutrales Element \(\vec{o} \in V\) mit \(\vec{a} + \vec{o} = \vec{a}\) für alle \(\vec{a} \in V\). \(\vec{o}\) heißt Nullvektor. Zu jedem \(\vec{a} \in V\) existiert ein inverses Element \(-\vec{a} \in V\) mit \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o}\). \(-\vec{a}\) nennt man den Gegenvektor von \(\vec{a}\). und \((rs)\vec{a} = r(s\vec{a})\) \(r(\vec{a} + \vec{b}) = r\vec{a} + r\vec{b}\) \((r+s)\vec{a} = r\vec{a} + s\vec{a}\) \(1 \cdot \vec{a} = \vec{a}\) Dargestellt wird ein Vektor im Raum als Spalte mit seinen drei Koordinaten \(v_1, v_2\) und \(v_3\): \(\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)\) Der Vektor \(\vec{v}\), der den Ursprung \(O\) auf den Punkt \(V\) abbildet, heißt Ortsvektor von \(V\): \(\vec{v} = \vec{OV}\). Unter dem Betrag \(\|\vec{v}\|\) des Vektors \(\vec{v}\) versteht man die Länge seines Pfeils. Es gilt: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{v^2_1 + v^2_2 + v^2_3}\) Beispiel Der Abstand zweier Punkte \(P\) und \(Q\) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors \(\|\vec{PQ}\|\): \(\|\vec{PQ}\| = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}\)
	Rechnen mit Vektoren Vektoren werden koordinatenweise addiert, subtrahiert und vervielfacht. Es gilt: \(\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{array}\right)\) \(\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{array}\right)\) \(r \cdot \vec{a} = r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{array}\right)\) Beispiel \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) - 5 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 7 - 5 \cdot 4 \\ -2 -5 \cdot 6 \\ 2 - 5 \cdot 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -13 \\ -32 \\ -8 \end{array}\right) \)
	Stichworte Koordinatensystem, Rechtsachse, Ursprung, Hochachse, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Koordinatenebene, kartesisch, Vektorraum, Vektor, Nullvektor, Gegenvektor, Ortsvektor, Betrag, Abstand

Volumen und Oberflächeninhalt

Inhalt
Würfel
Quader
Prisma
Zylinder
Pyramide
Kegel
Kugel
Oktaeder
Tetraeder

Das Volumen \(V\) eines Körpers beschreibt seine räumliche Ausdehnung.
Der Oberflächeninhalt \(O\) eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte aller Grund- und Seitenflächen.
Das Schrägbild eines Körpers zeigt den Körper perspektivisch dargestellt mit verkürzten Tiefenstrecken.
Das Netz eines Körpers zeigt alle seine Flächen aufgeklappt in wahrer Form und Größe.
Die Mantelfläche \(M\) ist die Summe aller Seitenflächen.

Würfel Ein Würfel ist ein geometrischer Körper, der von sechs Quadraten begrenzt wird.
\(V = a^3\)	\(O = 6 a^2\)
Seitenlänge \(a\)	oder \(O = 6 A\)
Bild
Quader Ein Quader ist ein geometrischer Körper aus paarweise zueinander kongruenten Rechtecken.
\(V = a \cdot b \cdot c\)	\(O = 2 a b\ + 2 a c + 2 b c\)
Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\)	oder \(O = 2 A_1 + 2 A_2 + 2 A_3\)
Bild
Prisma Ein Prisma wird von zwei zueinander parallelen kongruenten Vielecken und von rechteckigen Seitenflächen begrenzt. Der Abstand der beiden Vielecke voneinander heißt Höhe \(h\) des Prismas.
\(V = G \cdot h\)	\(O= 2 \cdot G+M\)
Grundfläche \(G\), Höhe \(h\), Mantelfläche \(M\)
Bild
Zylinder Ein Zylinder wird von zwei zueinander parallelen kongruenten Kreisen und einer gewölbten Mantelfläche \(M\) begrenzt. Der Abstand der beiden Kreise voneinander heißt Höhe \(h\) des Zylinders.
\(V= \pi r^2 \cdot h\)	\(O = 2 \pi r^2+2\pi r h\)
Höhe \(h\), Radius \(r\) der Grundfläche
Bild
Pyramide Eine Pyramide besitzt ein Vieleck als Grundfläche \(G\) und Dreiecke als Seitenflächen. Der Abstand zwischen der Spitze der Pyramide und der Grundfläche ist die Höhe \(h\) der Pyramide.
\(V = \frac 1 3 \cdot G \cdot h\)	\(O = G + M\)
Höhe \(h\), Grundflächeninhalt \(G\), Mantelflächeninhalt \(M\)
Bild
Kegel Ein Kegel ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche \(G\). Der Abstand von der Spitze bis zur Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Spitze heißt Mantellinie. Alle Verbindungslinien bilden die Mantelfläche des Kegels.
\(V = \frac 1 3 \cdot G \cdot h\)	\(O = G + M \) \(= \pi r^2+\pi r s \) \(= \pi r \cdot (r+s)\)
Höhe \(h\), Radius \(r\) der Grundfläche \(G\), Mantelflächeninhalt \(M\)
Bild
Kugel Rotiert ein Kreis im Raum um eine seiner Symmetrieachsen, so entsteht eine Kugel.
\(V= \frac 4 3 \pi r^3\)	\(O = 4 \pi r^2\)
Radius \(r\)
Oktaeder Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger Körper, der aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht.
\(V = \frac {a^3 \sqrt 2} 3\)	\(O = 2a^2 \sqrt 3\)
Bild
Tetraeder Ein Tetraeder ist ein regelmäßiger Körper, der von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird (dreiseitige Pyramide). Bild

Stichworte

Oberflächeninhalt, Schrägbild, Netz, Volumen, Würfel, Quader, Mantelfläche, Prisma, Zylinder, Pyramide, Grundfläche, Kegel, Kugel, Mantellinie, Oktaeder, Tetraeder

Wahrscheinlichkeit

Inhalt
Wahrscheinlichkeit
Zufallsexperiment
Relative Häufigkeit
Gesetz der großen Zahlen
Laplace-Experiment
Komplementärregel
Baumdiagramm
Vierfeldertafel

	Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit \(P\) eines Ereignisses \(A\) ist ein Maß, das angibt, wie sehr das Eintreten dieses Ereignisses \(A\) erwartet wird. Beispiel Wurf einer Münze hat die Ereignisse "Zahl" und "Kopf".
	Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ereignismenge bezeichnet. Ein Ereignis ist ein Versuchsausgang, der bei der Durchführung eines Zufallsexperiment eintreten kann. Beispiel Das Zufallsexperiment "Wurf eines Würfels" besitzt die Versuchsergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Ereignismenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Weitere Zufallsexperimente: Wurf einer Münze, Lotto-Spiel.
	Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit eines Ereignisses \(A\) bei einem Zufallsexperiment berechnet sich durch \(h(A) = \frac {\text{Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis A eintritt}} {\text{Anzahl aller durchgeführten Versuche}}\) Beispiel Relative Häufigkeit einer geraden Zahl beim Wurf eines Würfels: \(h(\text{"gerade Zahl"}) = \frac 3 6\)
	Gesetz der großen Zahlen Je häufiger man ein Zufallsexperiment durchführt, desto weniger schwanken die relativen Häufigkeiten um einen festen Wert, die Wahrscheinlichkeit \(P\). Die Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse beträgt 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörige Ergebnisse. Beispiel
	Laplace-Experiment - Laplace-Regel Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experimente. Für Laplace-Experimente gilt: Die Wahrscheinlichkeit \(P\) eines Ereignisses \(E\) beträgt: \(P(E) = \frac {\text{Anzahl der zum Ereignis E gehörenden Ergebnisse}} {\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments}}\) Beispiel Beim Werfen einer Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit, Kopf oder Zahl zu werfen, 50%, denn bei diesem Laplace-Experiment würde "Kopf" genauso oft wie "Zahl" fallen, wenn man die Münze unendlich oft werfen würde.
	Komplementärregel Das Gegenereignis \(\bar{E}\) eines Ereignisses \(E\) enthält alle Ereignisse, die nicht zu \(E\) gehören. Es gilt \(P(E) + P(\bar{E}) = 1\). Beispiel Wurf eines Würfels: Ereignis "gerade Zahl": \(P(\text{{2, 4, 6}}) = \frac 3 6\) Gegenereignis "ungerade Zahl": \(P(\text{1, 3, 5}) = \frac 3 6\) P(2, 4, 6) + P(1, 3, 5) = \(\frac 3 6 + \frac 3 6 = 1\)
	Baumdiagramm Um die Wahrscheinleichkeit eines Ereignisses eines Zufallsexperiments zu berechnen, stellen wir das Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm dar und schreiben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an die Pfade. Zu jedem der möglichen Ergebnisse des Zufallexperiments gehört ein Pfad. Pfadmultiplikationsregel: Längs eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Pfadadditionsregel: Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. Bei einem zweistufigen Zufallsexperimente wird auf der 1.Stufe untersucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit die eine bzw. die andere Möglichkeit des zuerst betrachteten Merkmals auftreten wird. Auf der 2.Stufe wird dann dargestellt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Möglichkeiten des anderen Merkmals auftreten. Man schreibt: P("Ereignis der 1.Stufe"\|"Ereignis der 2.Stufe") Beispiel Zweimalige Ziehung aus einer Urne mit 1 roten, 1 grüne und 2 blauen Kugeln: P(1 rote und 1 grüne Kugel}) = P(rot\|grün) + P(grün\|rot) \(= \frac 1 {12} + \frac 1 {12} = \frac 1 6\)
	Vierfeldertafel In Vierfeldertafeln können statistische Daten dargestellt werden, bei denen die zwei Merkmale A und B mit jeweils zwei Möglichkeiten betrachtet werden. Die Vierfeldertafel kann durch zwei zweistufige Zufallsexperimente angegeben werden: Beispiel Personen an einer Schule
	Stichworte Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment, Ereignis, relative Häufigkeit, Gestz der großen Zahlen, Laplace, Komplementärregel, Gegenereignis, Baumdiagramm, Pfadmultiplikationsregel, Pfadadditionsregel, zweistufig, Vierfeldertafel

Zahlen

Inhalt
Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen

	Natürliche Zahlen Die Zahlen \(1, , 3, 4, ...\) gehören zur Menge \(\mathbb{N}\) der natürlichen Zahlen. Natürliche Zahlen kann man nach "ist kleiner als" ordnen. Auf dem Zahlenstrahl liegt die kleinere Zahl links von der größeren. Beispiele 5 befindet sich links von 7. 5 ist somit kleiner als 7. Man schreibt: \(5 \lt 7\). 3 befindet sich rechts von 1. 3 ist somit größer als 1. Man schreibt: \(3 \gt 1\).
	Ganze Zahlen Die Zahlen \(..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, , 3, 4, ...\) gehören zur Menge \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb{Z}\). Es gilt: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) Jede ganze Zahl lässt sich als Differenz natürlicher Zahlen darstellen. Wird bei einer ganzen Zahl das Vorzeichen geändert, so erhält man die Gegenzahl. Der Abstand einer Zahl von 0 heißt Betrag. Man schreibt dafür \(\|Zahl\|\) . Beispiele Die Gegenzahl von -12 ist 12. Die Gegenzahl von 6 ist -6. \(\|-12\| = 12\) \(\|7\| = 7\) Bei der Addition von Summanden mit gleichen Vorzeichen wird das gemeinsame Vorzeichen gesetzt und die Beträge der Summanden addiert. Beispiele \(+12 + (+7) = +19\) \(-12 + (-7) = -19\) Bei der Addition von Summanden mit verschiebenen Vorzeichen wird das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl gesetzt und der kleinere Betrag vom größeren subtrahiert. Beispiele \(+12 + (-7) = +5\) \(-12 + (+7) = -5\) Bei der Subtraktion wird die Gegenzahl addiert. Beispiele \(12 - 7 = 12 + (-7) = 5\) Bei der Multiplikation werden die Beträge der Faktoren multipliziert. Bei gleichem Vorzeichen der Faktoren wird das Produkt positiv. Bei verschiedenen Vorzeichen wird das Produkt negativ. Beispiele \(+4 \cdot (+6) = +24\) \(-4 \cdot (-6) = +24\) \(+4 \cdot (-6) = -24\) \(-4 \cdot (+6) = -24\)
	Rationale Zahlen Die Zahlen \(-\frac 7 6; +5,4; -1 \frac 2 5; -0,65; 0\) gehören zur Menge \(\mathbb{Q}\) der rationale Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) sind Teilmengen von \(\mathbb{Q}\). Es gilt: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) Jede rationale Zahl lässt sich als Quotient ganzer Zahlen darstellen (Bruchzahlen). Bei der Division werden die Beträge von Divident und Divisor dividiert. Bei gleichem Vorzeichen von Divident und Divisor wird der Quotient positiv. Bei verschiedenen Vorzeichen wird der Quotient negativ. Beispiele \(+8 : (+2) = +4\) \(-8 : (-2) = +4\) \(+8 : (-2) = -4\) \(-8 : (+2) = -4\) Durch Vertauschen von Zähler und Nenner einer rationalen Zahl (ungleich 0) erhält man den Kehrwert der Zahl. Die Division durch eine Zahl (ungleich 0) ist gleich der Multiplikation mit dem Kehrwert dieser Zahl. Beispiele Der Kehrwert von 8 ist \(\frac 1 8\). Der Kehrwert von \(\frac 3 7\) ist \(\frac 7 3\). Division: \(8 : 2 = 8 \cdot \frac 1 2\) Division: \(15 : \frac 1 3 = 15 \cdot 3\)
	Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Brüche schreiben. Nach dem Komma sind sie nichtabbrechend und nichtperiodisch.
	Reelle Zahlen Die Zahlen \(\pi, -23,566666..., \sqrt{14}, 1,456456456...\) gehören zur Menge \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\), die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) und die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind Teilmengen von \(\mathbb{R}\). Es gilt: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
	Stichworte Natürliche Zahlen, Zahlenstrahl, ganze Zahlen, Gegenzahl, Betrag, rationale Zahlen, Bruchzahlen, Kehrwert, irrationale Zahlen, reelle Zahlen

Zuordnung

Inhalt
Zuordnung
Proportionale Zuordnung
AntiproportionaleZuordnung
Funktion

	Zuordnung Eine Zuordnung ordnet einem Wert der ersten Größe (Ausgangsgröße) eindeutig einen Wert der zweiten Größe (zugeordnete Größe) zu. Schreibweise für die Zuordnung: Ausgangsgröße \(\rightarrow\) zugeordnete Größe Eine Zuordnung kann man im Koordinatensystem oder in einer Zuordnungstabelle darstellen. Jedem Paar einander zugeordneter Größen entspricht ein Punkt mit der Ausgangsgröße als erster und der zugeordneten Größe als zweiter Koordinate. Beispiel
	Proportionale Zuordnung Ein Zuordnung heißt proportional, wenn sich mit der Ausgangsgröße auch die zugeordnete Größe vervielfacht. Bei proportionalen Zuordnungen liegen die Punkte des Graphen auf einer Halbgeraden durch den Koordinatenursprung \(O(0\|0)\). Fragestellungen zu proportionalen Zuordnungen können mit dem Dreisatz tabellarisch gelöst werden. Bei proportionalen Zuordnungen haben die Quotienten der zugeordneten Größen stets den gleichen Wert. Es gilt: \(\text{Proportionalitätsfaktor} = \frac {\text{zugeordnete Größe}} {\text{Ausgangsgröße}}\) Beispiel
	Antiproportionale Zuordnung Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn gilt: Verdoppelt (verdreifacht, ...) man eine Ausgangsgröße, so halbiert (drittelt, ...) sich die zugeordnete Größe. Bei antiproportionalen Zuordnungen liegen die Punkte des Graphen auf einer Kurve, diese nennt man Hyperbel. Sie trifft keine der beiden Achsen. Fragestellungen zu antiproportionalen Zuordnungen können mit dem Dreisatz tabellarisch gelöst werden. Bei antiproportionalen Zuordnungen haben die Produkte der zugeordneten Größen stets den gleichen Wert. Es gilt: Gesamtgröße = Ausgangsgröße \(\cdot\) zugeordnete Größe Beispiel
	Funktion Eine eindeutige Zuordnung, bei der jeder Zahl \(x\) aus der Definitinsmenge \(D\) eine ganz bestimmte Zahl \(y\) zugeordnet wird, heißt Funktion. \(y\) heißt Funktionswert von \(x\) oder Funktionswert an der Stelle \(x\). Heißt die Funktion \(f\), so bezeichnet man den Funktionswert von \(x\) auch mit \(f(x)\). Eine Funktion kann angegeben werden durch: eine Funktionsgleichung, eine Wertetabelle, einen Funktionsgraphen. Beispiel
	Stichworte Zuordnung, proportional, Proportionalitätsfaktor, antiproportional, Hyperbel, Funktion, Funktionswert, Zuordnungstabelle, Wertetabelle

	Koordinatensystem in der Ebene Ein Koordinatensystem in der Ebene besteht aus einem nach rechts gerichteten Zahlenstrahl, der Rechtsachse oder x-Achse, und einem nach oben gerichteten Zahlenstrahl, der Hochachse oder y-Achse. Punkte haben eine 1.Koordinate (x-Koordinate) und eine 2.Koordinate (y-Koordinate). Der Punkt \(0\|0)\) heißt Ursprung des Koordinatensystems. Beispiel Der Punkt \(P(2\|3)\) hat die 1.Koordinate \(2\) und die 2.Koordinate \(3\).
	Koordinatensystem im Raum Um Punkte im Raum mit Zahlen angeben zu können, führt man ein räumliches Koordinatensystem mit einem Punkt O als Ursprung des Koordinatensystems und drei sich in 0 schneidende Geraden als Koordinatenachsen (\(x_1\)-Achse, \(x_2\)-Achse und \(x_3\)-Achse) ein. Ein Punkt \(P\) im Koordinatensystem wird durch seine drei Koordinaten angegeben: \(P(x_1\|x_2\|x_3)\). Die von den Koordinatenachsen auf gespannten Koordinatenebenen heißen \(x_1x_2\)-Ebene, \(x_2x_3\)-Ebene und \(x_1x_3\)-Ebene. Ein Koordinatensystem heißt kartesisch, wenn die Koordinatenachsen orthogonal zueinander stehen. Beispiel Der Punkt \(P(2\|3\|6)\) hat die 1.Koordinate \(2\), die 2.Koordinate \(3\) und die 3.Koordinate \(6\).
	Vektoren Ein Vektorraum \(V\) ist eine Menge. Seine Elemente heißen Vektoren. Ein Vektor \(\vec{v}\) ist durch eine Länge und eine Richtung gegeben. Für einen Vektorraum \(V\) mit den Elementen \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in V\) und \(r,s \in \mathbb{R}\) gelten die Gesetze \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\) (Kommutativgesetz) \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\) (Assoziativgesetz) Es gibt ein neutrales Element \(\vec{o} \in V\) mit \(\vec{a} + \vec{o} = \vec{a}\) für alle \(\vec{a} \in V\). \(\vec{o}\) heißt Nullvektor. Zu jedem \(\vec{a} \in V\) existiert ein inverses Element \(-\vec{a} \in V\) mit \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o}\). \(-\vec{a}\) nennt man den Gegenvektor von \(\vec{a}\). und \((rs)\vec{a} = r(s\vec{a})\) \(r(\vec{a} + \vec{b}) = r\vec{a} + r\vec{b}\) \((r+s)\vec{a} = r\vec{a} + s\vec{a}\) \(1 \cdot \vec{a} = \vec{a}\) Dargestellt wird ein Vektor im Raum als Spalte mit seinen drei Koordinaten \(v_1, v_2\) und \(v_3\): \(\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)\) Der Vektor \(\vec{v}\), der den Ursprung \(O\) auf den Punkt \(V\) abbildet, heißt Ortsvektor von \(V\): \(\vec{v} = \vec{OV}\). Unter dem Betrag \(\|\vec{v}\|\) des Vektors \(\vec{v}\) versteht man die Länge seines Pfeils. Es gilt: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{v^2_1 + v^2_2 + v^2_3}\) Beispiel Der Abstand zweier Punkte \(P\) und \(Q\) ist gleich der Länge des Verbindungsvektors \(\|\vec{PQ}\|\): \(\|\vec{PQ}\| = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}\)
	Rechnen mit Vektoren Vektoren werden koordinatenweise addiert, subtrahiert und vervielfacht. Es gilt: \(\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{array}\right)\) \(\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{array}\right)\) \(r \cdot \vec{a} = r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{array}\right)\) Beispiel \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) - 5 \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 7 - 5 \cdot 4 \\ -2 -5 \cdot 6 \\ 2 - 5 \cdot 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -13 \\ -32 \\ -8 \end{array}\right) \)
	Stichworte Koordinatensystem, Rechtsachse, Ursprung, Hochachse, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Koordinatenebene, kartesisch, Vektorraum, Vektor, Nullvektor, Gegenvektor, Ortsvektor, Betrag, Abstand

Inhalt

Ableitung

Inhalt

Ableitung

Differenzenquotient

Berechnung der Ableitung

Ableitungsregeln

Besondere Ableitungen

Tangente und Normale

Stichworte

Inhalt

Ähnlichkeit

Inhalt

Maßstab

Ähnlichkeit von Vielecken

Ähnlichkeitssatz für Dreiecke

1.Strahlensatz

2.Strahlensatz

Zentrische Streckung

Stichworte

Inhalt

Bruchrechnung

Inhalt

Brüche

Erweitern/Kürzen

Vergleichen von Brüchen

Rechnen mit Brüchen

Dezimalbrüche

Brüche -> Dezimalbrüche

Runden

Rechnen mit Dezimalbrüchen

Endliche und unendliche Dezimalbrüche

Stichworte

Inhalt

Dreieck

Inhalt

Besondere Dreiecke

Basiswinkelsatz

Winkelsummensatz

Höhen eines Dreiecks

Seitenhalbierende und Schwerpunkt

Satz von Thales

Mittelsenkrechte

Eulersche Gerade

Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks

Satz des Pythagoras

Kehrsatz des Satzes von Pythagoras

Kathetensatz des Euklid

Höhensatz des Euklid

Stichworte

Inhalt

Einheiten

Inhalt

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Fläche und Umfang

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